Introduction of jumps and ARCH to interest rates

Abstract

우리는 지금까지 정규분포를 바탕으로 한 보통의 이자율 모형, 예를 들면 바시첵과 같은 모형을 이자율을 설명하는데 이용했다. 이러한 종류의 모형들은 정규분포를 바탕으로 하며 따라서 첨도가 항상 3이 된다. 그러나 이는 우리가 보통 무 위험 이자율이라고 생각하는 3달 만기의 미국의 재무성 채권의 이율의 첨도와 큰 차이를 보인다. 미국의 재무성 채권의 이율의 첨도는 약 32로 정규분포의 3보다 매우 크며 이는 기존의 정규분포를 바탕으로 한 이자율 모형이 실제로 무 위험 이자율, 이의 대역을 알맞게 설명하지 못함을 의미한다. 또한 이는 보통의 정규분포 이자율 모형의 변형, 예를 들어 확률적 변동을 도입한 모형을 바탕으로 해도 설명이 어려운 부분이다. 그 이유는 첨도를 설명하기 위해 과도하게 매개변수를 추정하면 분산이 상대적으로 증가하거나 우리가 수용할 수 없을 정도의 단기 이자율이 형성되기 때문이다. 우리는 이러한 문제를 해결하기 위해 기존의 확률적 변동성 등의 모형 대신 점프와 아치를 도입하여 실제의 데이터가 보여주는 높은 첨도를 설명하고 이를 이용하여 새롭게 도입된 점프와 아치의 경제학적, 그리고 통계적 의미를 확인하고자 한다. 이는 점프의 도입이 짧은 시간 안에 급격하게 변화하는 단기 이자율의 변동을 높은 분산 없이 설명할 수 있고 아치의 도입으로 한번 변동성이 커지면 한동안 높은 변동성이 지속되는 데이터가 보여주는 현상을 설명할 수 있으리라는 기대 하에서 출발하였다. 우리는 순수한 바시첵모형, 점프를 추가한 모형, 아치를 추가한 모형, 그리고 점프와 아치를 모두 추가한 모형에 대해 매개변수를 추정하고 각 모형의 첨도를계산했다. 그 결과 점프와 아치를 모두 도입한 모형이 실제 데이터가 보여주는 첨도를 가장 잘 설명할 수 있음을 확인하였다. 또한 이 모형의 평균이자율도 우리가 수용할 수 있는 정도임을 확인했다. 이를 바탕으로 우리는 먼저 단기 이자율의 비선형성을 확인하고자 평균이자율에 다시 비선형 항을 추가하여 매개변수를 추정했다. 그 결과 우리가 앞서 데이터를 가장 잘 설명한다고 확인 했던 점프와 아치를 동시에 도입한 모델이 기존의 발견과 동일하게 비선형성이 존재하지 않음을 의미함을 확인할 수 있었다. 다음으로 우리는 점프의 경제학적 의미를 알아보기 위해 점프가 주로 언제 발생하는지 확인하였다. 이는 점프가 일어나는 확률을 나타내는 변수에 요일을 바탕으로 한 더미변수를 도입하여 각 계수를 추정했으며, 역사적으로 평균적으로 미국의 연방은행의 정기회의가 열리는 화요일에 주로 발생함을 의미함을 확인했다. 또한 점프발생과정의 매개변수를 제외하고 다른 추정된 매개변수가 주어졌다고 가정한 뒤 기존의 데이터를 이용해 이 모형이 의미하는 각 시점마다 점프가 일어났을 확률을 역으로 깁스샘플러를 이용해 추정했다. 이를 통해 평균적으로 화요일에 점프가 많이 발생했음을 다시 확인할 수 있었다. 이는 새로운 뉴스가 시장에 유입되어 참여자들이 그에 반응함을 점프를 도입한 모형을 이용하여 확인할 수 있다는 기존의 발견 내용과도 부합한다. 또한 실제로 이 모형이 의미하는 점프 중 상당수가 과민 반응에 의한 것임을 또한 확인 했다. 마지막으로 기존의 바시첵모형에서 이 새로운 모형으로의 변화가 여러 자산의 가격에 대한 영향을 확인했다.