재료조각법을 이용한 위상최적설계

Abstract

본 논문은 위상최적설계를 위한 새로운 접근법인 재료조각법을 제안한다. Bendsoe와 Kikuchi의 선구적 연구 이래로 위상최적설계를 위한 다양한 연구가 수행되어오고 있으며, 위상최적설계기법은 산업계의 다양한 설계과정에 성공적으로 적용되고 있다. 위상최적설계기법 중 가장 보편적으로 사용되는 접근법은 밀도분배법이다. 이 기법에서 설계변수는 초기 설정된 설계영역안의 모든 요소내의 밀도이다. 이 기법은 매우 간단하고 유한요소법과 잘 조화를 이룸에도 불구하고, 몇몇 어려운 점이 지적되고 있다. 해결되어야 할 가장 곤란한 문제는 설계영역이 최적화 과정 중에 변할 수 없다는 것이다. 이 한계 때문에 마지막 최적 설계안은 초기 설계영역에 강하게 의존하고 계산비용도 불필요하게 커지게 된다. 재료조각법에서는 최적설계안이 재료조각의 크기와 중심위치를 변경함을 통해 획득된다. 여기서 재료조각이란 유한크기를 갖고 일정한 재료밀도를 갖는 재료덩어리를 의미한다. 재료조각의 최적분포는 고정된 유한요소배경격자를 이용하여 획득된다. 수치적 해석과정에서 재료조각이 포함된 요소들만이 계산과정에 포함된다. 최적재료분포는 재료조각의 분포로 부터 요소단위로 추출된다. 재료조각법에서는 재료조각으 움직임을 통해 설계영역의 확장 및 축소 과정이 자연스럽게 구현된다. 따라서 계산시간의 큰 증가없이 최적해를 구할 수 있다. 중간값의 밀도를 갖는 영역이 거의 존재하지 않는 명확한 재료분포가 상대적으로 빠른 수렴성을 가지고 획득될 수 있다. 새로운 접근법인 재료조각법의 수학적 엄밀함을 보이기 위해 컴팩트 집합 이론을 이용하여 최적해의 존재성이 증명된다. 가변설계영역에 대한 증명과정은 완전히 새로운 연구결과이다. 재료조각법의 우수성과 일반성을 보이기 위해 2차원 뿐만 아니라 3차원 공학설계문제에 대한 최적설계결과가 기술되며, 기존 밀도분배법의 결과와 비교된다.